Question

如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A₁B₁．
（1）在图中画出直线A₁B₁．
（2）求出过线段A₁B₁中点的反比例函数解析式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质找出点A、B的对应点A₁、B₁，然后作直线A₁、B₁即可；
（2）先求出线段A₁B₁中点的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）根据直线AB求出k=2值，再根据平行线的k值相等设出与直线AB平行的直线的解析式，与反比例函数解析式联立求解，根据非负数大于等于0求出判别式△＞0，直线与反比例函数解析式有两个交点，所以此直线不存在．

解答：解：（1）根据题意，点A₁（0，1），B₁（2，0），
如图，直线A₁B₁即为所求；

（2）∵点A₁（0，1），B₁（2，0），
∴线段A₁B₁中点的坐标为（1，

1

2

），
设反比例函数解析式为y=

m

x

，

m

1

=

1

2

，
解得m=

1

2

，
反比例函数解析式为y=

1

2x

；

（3）设直线AB的解析式为y=mx+n，
则

n=2 -m+n=0

，
解得

m=2 n=2

，
∴直线AB的解析式为y=2x+2，
∴与直线AB平行的直线为y=2x+b，
与反比例函数解析式联立得，

y=2x+b y= 1 2x

，
∴4x²+2xb-1=0，
∴△=b²-4ac=（2b）²-4×4×（-1）=4b²+16，
∵b²≥0，
∴4b²+16＞0，
∴△＞0，
∴直线与反比例函数图象有两个交点，
∴与直线AB平行与双曲线只有一个交点的直线不存在．

点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求函数解析式，两直线的平行问题，利用旋转变换作图，以及两函数图象的交点问题的求解，利用根的判别式判断交点是解题的关键．