Question

小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM=ON，则AB=CD．
（1）请帮小雅证明这个结论； 
（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的角平分线的交点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G，若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）连结OA，OC，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=AB，CN=CD，在Rt△AOM中，AM=，在Rt△CON中，CN=，
∵OA=OC，OM=ON，
∴AM=CN，
∴AB=CD；

（2）分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连OA、OC，
∵O为△ABC的角平分线的交点，
∴OP=OM=ON，
∴DB=BE=GF，
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG，
∴Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，
∴AP=AN，CM=CN，
∴AD=AG=9，CE=CF=2，
设BD=x，则AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，
∵AC²=AB²+BC²，
∴（11+x）²=（9+x）²+（2+x）²，
∴x²=36，
∴x=6，
∴△ABC的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．
分析：（1）连结OA，OC，根据垂径定理得到AM=AB，CN=CD，再利用勾股定理得到AM=，CN=，又OA=OC，OM=ON即可得到结论；
（2）分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连OA、OC，根据O为△ABC的角平分线的交点得到OP=OM=ON，根据（1）的结论得到DB=BE=GF，再根据垂径定理得到DP=PB=BM=ME=FN=NG，易证得Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，可得到AP=AN，CM=CN，则AD=AG=9，CE=CF=2，设BD=x，则AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x即可得到三角形的周长．
点评：本题考查了圆的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质等，关键是用x表示出AB、BC、AC的长．