分析 (1)由直线的解析式求出A、B的坐标,由勾股定理求出AB,得出sin∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,求出∠EDC=∠BAC,由轴对称的性质得出BA=BC,C(4,0),证出∠ECD=∠BCA,即可得出△DEC∽△ABC;
(2)证出∠DEC=∠DBC,得出B、E、C、D四点共圆,由圆周角定理得出∠EDC=∠EBC,证出∠EBC=∠BCA,即可得出结论;
(3)由题意得出当点D与点B重合时,△DEC的面积最小,点D坐标为:(0,2),作CF⊥BE于F,设ED=EC=x,则EF=4-x,根据勾股定理得出方程,解方程求出ED,即可得出△DEC面积的最小值.
解答 (1)证明:∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴、y轴于A、B两点,
当y=0时,x=-4,;
当x=0时,y=2;
∴A(-4,0),B(0,2),
∴OA=4,OB=2,
∵∠AOB=90°,
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∴sin∠BAC=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∵sin∠EDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴∠EDC=∠BAC,∵
点C与点A关于y轴对称,
∴BA=BC,C(4,0),
∴∠BAC=∠BCA,
∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠ECD=∠BCA,
∴△DEC∽△ABC;
(2)证明:∵△DEC∽△ABC,
∴∠DEC=∠DBC,
∴B、E、C、D四点共圆,如图1所示:
∴∠EDC=∠EBC,
∴∠EBC=∠BCA,
∴BE∥AC;
(3)存在;△DEC面积的最小值为$\frac{5}{2}$;理由如下:
解:∵BE∥AC,
当点D与点B重合时,△DEC的面积最小,此时点D坐标为:(0,2),
如图2所示:作CF⊥BE于F,
则∠CFE=90°,CF=2,BF=4,
设ED=EC=x,
则EF=4-x,
在Rt△CEF中,根据勾股定理得:CF2+EF2=EC2,
即22+(4-x)2=x2,
解得:x=$\frac{5}{2}$,
∴ED=$\frac{5}{2}$,
∴△DEC的面积=$\frac{1}{2}$ED•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$.
点评 本题是一次函数综合题目,考查了一次函数图象与坐标轴交点、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、四点共圆、圆周角定理、平行线的判定、勾股定理等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明四点共圆和运用勾股定理列出方程才能求解.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 80° | B. | 60° | C. | 50° | D. | 40° |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com