Question

△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．（有多种辅助线作法）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：方法一、延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．由已知条件不难算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证；
方法二、根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBQ=40°，根据等角对等边的性质可得BQ=CQ，然后过点P作PD∥BQ，求出PD=CD，再利用“角角边”证明△ABP与△ADP全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AD，BP=PD，从而得证．

解答：方法一、证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD，
则∠D=∠5．
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD与△APC中，

∠D=∠C ∠2=∠1 AP=AP

∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．
方法二、如图，
∴∠CBQ=

1

2

∠ABC=

1

2

×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP与△ADP中，

ABC=∠ADP ∠BAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，正确作好辅助线，构造全等三角形是解此题的关键，主要考查学生的推理能力，难度偏大．