【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点D,且BD∥OC,连接AC.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AB=OC=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
【答案】(1)证明见解析;(2);
【解析】
(1)连接OD,先根据切线的性质得到∠CDO=90°,再根据平行线的性质得到∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,又因为OB=OD,所以∠OBD=∠ODB,即∠AOC=∠COD,再根据全等三角形的判定与性质得到∠CAO=∠CDO=90°,根据切线的判定即可得证;
(2)因为AB=OC=4,OB=OD,Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形,从而得到
∠DOB=60°,即△BOD为等边三角形,再用扇形的面积减去△BOD的面积即可.
(1)证明:连接OD,
∵CD与圆O相切,
∴OD⊥CD,
∴∠CDO=90°,
∵BD∥OC,
∴∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠AOC=∠COD,
在△AOC和△DOC中,
,
∴△AOC≌△EOC(SAS),
∴∠CAO=∠CDO=90°,则AC与圆O相切;
(2)∵AB=OC=4,OB=OD,
∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形,
∴∠DOC=∠COA=60°,
∴∠DOB=60°,
∴△BOD为等边三角形,
图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积,
=.
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【题目】如图,三角形BCO是三角形BAO经过某种变换得到的.
(1)写出A,C的坐标;
(2)图中A与C的坐标之间的关系是什么?
(3)如果三角形AOB中任意一点M的坐标为(x,y),那么它的对应点N的坐标是什么?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,2)、(1,0),顶点C在函数y=x2+bx-1的图象上,将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′,点D的对应点D′落在抛物线上,则点D与其对应点D′之间的距离为 ______.
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【题目】已知⊙O1和⊙O2外切于M,AB是⊙O1和⊙O2的外公切线,A,B为切点,若MA=4cm,MB=3cm,则M到AB的距离是( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
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【题目】已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B(3,2),点B与点C关于原点O对称,BA⊥x轴于点A,CD⊥x轴于点D.
(1)求这个反比函数的表达式;
(2)求△ACD的面积.
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【题目】(本题满分10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
(1)求每张门票原定的票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
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【题目】如图,已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b 的图象交于点 A(1,4)和点 B(m,-2),直线 AB 交 x 轴于点 C.
(1)求这两个函数的关系式;
(2)求△OAB 的面积;
(3)结合图象直接写出 > 时,x 的取值范围.
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上的点,E是AD的延长线的点,且AE=AM,过E作EF⊥AM垂足为F,EF交DC于点N.
(1)求证:AF=BM;
(2)若AB=12,AF=5,求DE的长.
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