Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△OAB的三个顶点分别为O（0，0）、A（8，6）、B（0，6），点P从点O出发在OA之间作往返运动，速度为每秒2个单位；点Q从O点出发在边OB、BA上沿O→B→A的方向运动，速度为每秒1个单位，当点Q到达终点A时，点P也停止运动．若P、Q两点同时出发，设运动的时间是t秒．
（1）若Q在BA上运动，当AQ=AP时，求t的值；
（2）过点P作PC⊥AB于C，PD⊥OB于D，设CD的中点为M，连接BM，求BM取得最小值时t的值．

Answer 1

考点：勾股定理,一元一次方程的应用,垂线段最短,矩形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）分别利用当P点从O点出发还没有到达A点时，当P点从O点出发到达A点返回时，当P点从O点出第2次出发时，得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出BM与t的函数解析式，进而得出答案．

解答：解：（1）如图所示：当Q在BA上运动，当AQ=AP时，
∵O（0，0）、A（8，6）、B（0，6），
∴OB=6，AB=8，AO=10，
∵点P从点O出发在OA之间作往返运动，速度为每秒2个单位；点Q从O点出发在边OB、BA上沿O→B→A的方向运动，速度为每秒1个单位，
当点Q到达终点A时，点P也停止运动，
∴Q点总的运动时间为：14秒，
当P点从O点出发还没有到达A点时，AQ=14-t，AP=10-2t，
∴14-t=10-2t，
解得：t=-4（不合题意舍去），
当P点从O点出发到达A点返回时，AQ=14-t，AP=2t-10，
∴14-t=2t-10，
解得：t=8，
当P点从O点出第2次出发时，AQ=14-t，AP=2t-20，
∴14-t=2t-20，
解得：t=

34

3

，
综上所述：Q在BA上运动，当AQ=AP时，t的值为8秒或

34

3

秒；

（2）如图2，OP=2t，AP=10-2t，
∵PD∥AB，
∴△OPD∽△OAB得：

PD

OP

=

AB

OA

4

5

，
∴PD=

8

5

t，
∵PC∥BO，
∴△PAC∽△OAB，
∴

PC

PA

=

OB

OA

=

3

5

，
∴PC=

3

5

（10-2t）=6-

6

5

t，
∴BM=

1

2

CD=

1

2

PD2+PC2

=

1

2

( 8 5 t)2+(6- 6 5 t)2

=

1

2

4t2- 72t 5 +36

∴BM²=（t-

9

5

）²+

144

25

，
∴当t=

9

5

时，BM最小=

12

5

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．