Question

24、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：点M在AB、CD边中点的连线上．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补，∠DAB+∠CBA=180°，再根据角平分线的定义可以整理出∠2+∠3=90°，利用三角形内角和等于180°求出∠AMB=90°，所以AE⊥BF；
（2）先设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角的性质得到∠2=∠5，所以GM∥AD，又GH是梯形ABCD的中位线，根据梯形中位线定理GH∥AD，而过点G有且只有一条直线与AD平行，所以点M在GH上．

解答：（1）证明：如图，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，（1分）
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，（2分）
即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，
2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，（3分）
而∠2+∠3+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，（4分）
即AE⊥BF；

（2）证明：如图，设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，（5分）
∵M为Rt△ABM斜边AB的中点，（6分）
∴MG=AG=GB，（7分）
∴∠2=∠5，（8分）
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．（9分）
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形，
又G、H分别为两腰AB、DC的中点，
由梯形中位线定理可知，GH∥AD，而证得GM∥AD，（10分）
根据平行公理可知，过点G与AD平行的直线只有一条，（11分）
∴M点在GH上，
即M点在AB、CD边中点的连线上．（12分）

点评：（1）利用两直线平行，同旁内角互补的性质和角平分线的定义求解，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；等边对等角的性质；内错角相等，两直线平行的性质；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中平行公理的运用比较关键．