Question

【题目】如图，在中，，于点，点为中点，连接交于点，且，过点作，交于点.

（1）求的大小；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）∠CAD =22.5°；（2）见解析.

【解析】

（1）只要证明△BDF≌△ADC，推出BD=AD，推出∠BAD=∠ABD=45°=2∠CBE=2∠DAC即可解决问题．
（2）延长BE、DG交于点K．证明DK=BD=AD， GK=AF后可以证明Rt△AEF≌Rt△KEG，问题即可解决．

证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°

∵AB=BC，E为AC中点，
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC，BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC
即∠CBE=∠CAD，
在△BDF和△ADC中，

，

∴△BDF≌△ADC，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，∠CBE=∠DAC,
∴∠CAD=∠ABD=22.5°．
（2）延长BE、DG交于点K．

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CAB，∠K=∠ABE，

∵∠BAC=∠C， ∠ABE=∠CBE=∠EAF
∴∠CGD=∠C，∠K=∠CBE =∠EAF

∴DG=DC，DK=BD，

∴△BDF≌△ADC，
∴CD=DF，
∴DG=DF，DK=BD=AD，
∴DK-DG=AD-DF，

即GK=AF
在Rt△AEF和Rt△KEG中

，

∴Rt△AEF≌Rt△KEG（AAS），
∴EF=EG．