Question

3．如图，MN是半径为3的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AON=2∠AMN，再求出∠NOB′，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．

解答 解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，
由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠NOB′=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB′=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为3，
∴AB′=3$\sqrt{2}$，
即PA+PB的最小值为为3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，熟记定理以及最短路线的确定方法是解题的关键．