Question

11．如果一个直角三角形的两条直角边长分别等于方程x²-3$\sqrt{3}$x+2k=0的两个根，并且这个直角三角形斜边长是5，求k的值．

Answer 1

分析 设直角三角形的两条直角边长分别a、b，根据根与系数的关系得a+b=3$\sqrt{3}$，ab=2k，再利用勾股定理得a²+b²=5²，则利用完全平方公式变形得（a+b）²-2ab=25，所以（3$\sqrt{3}$）²-4k=25，然后解关于k的方程即可．

解答 解：设直角三角形的两条直角边长分别a、b，
根据题意得a+b=3$\sqrt{3}$，ab=2k，
而a²+b²=5²，
所以（a+b）²-2ab=25，
即（3$\sqrt{3}$）²-4k=25，
解得k=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了勾股定理．