Question

如图，大圆O的半径OC是小圆O₁的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB．圆O₁的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D．
（1）试探究CD与AO₁的位置关系，并说明理由；
（2）若DE=4，CE=2，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理即可证得AO₁与CD都与OD垂直，即可证得CD∥AD；
（2）根据切割线定理即可求得OE的长，进而求得半径OC的长，再依据切线长定理即可求解．

解答：解：（1）CD∥AD
证明：∵OC是⊙O₁的直径，
∴∠ODC=90°
∵AD，AO是⊙O₁的切线，
∴AO₁⊥OD，
∴CD∥AD

（2）∵DE是⊙O₁的切线，
∴DE²=EC•EO，即16=2EO，
∴EO=8，
∴OC=OE-EC=8-2=6．
∴AD=AO=OC=6．

点评：本题考查了圆周角定理，切线长定理，切割线定理，关键是证明：AO₁与CD都与OD垂直．