Question

【题目】如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析.

【解析】

（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；

（3）同（2）的方法即可得出结论．

（1）∵OM是∠AOB的角平分线，

∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，

∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．

在Rt△OCD中，OD=OCcos30°OC，

同理：OEOC，

∴OD+OEOC；

（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：

过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°．

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得：OFOC，OGOC，

∴OF+OGOC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OEOC；

（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ODOC，理由如下：

过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°．

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得：OFOC，OGOC，

∴OF+OGOC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣ODOC．