Question

19．如图，矩形AOCB边OC在x轴上点B的坐标为（3，1），将此矩形折叠，使点C与点A重合，点B折至点B'处，折痕为EF，则点B'的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$）．

Answer 1

分析 过E作EG⊥OC，过点B'作B'H⊥y轴于点H．根据点B的坐标可求出OA=BC=1，OC=AB=3，设OF=x，在Rt△AOF中利用勾股定理可求出OF的长，进而可求出AF的长，再证△B'AH∽△AFO，根据对应边成比例得B'H=$\frac{3}{5}$，AH=$\frac{4}{5}$，可得点B'坐标．

解答 解：如图，过E作EG⊥OC，过点B'作B'H⊥y轴于点H．
∵点B的坐标为（3，1），
∴OA=BC=1，OC=AB=3，
设OF=x，则AF=CF=3-x，
在Rt△AOF中，AF²=OA²+OF²，即（3-x）²=1²+x²，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴OF=$\frac{4}{3}$，AF=$\frac{5}{3}$．
∵∠B'AF=90°，∠B'HA=∠AOF=90°，
∴∠B'AH=∠AFO=90°-∠OAF，
∴△B'AH∽△AFO，
∴$\frac{B′H}{AO}$=$\frac{AH}{FO}$=$\frac{AB′}{AF}$，即$\frac{B′H}{1}$=$\frac{AH}{\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{\frac{5}{3}}$，
解得：B'H=$\frac{3}{5}$，AH=$\frac{4}{5}$，
则OH=AO+AH=1+$\frac{4}{5}$=$\frac{9}{5}$，
故点B'的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$）．
故答案为（$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$）．

点评 本题考查的是图形翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解题的关键．