Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c经过点A（8，6）交x负半轴于点B（-4，0），直线AB交y轴于C，点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PQ的长．
②当四边形CDPQ为平行四边形时，求m的值．
（3）过点P作PE⊥AB于点E．若PE恰好被x轴平分，则AQ：QE：EB=15：7：14．．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c经过点A（8，6）交x负半轴于点B（-4，0），运用待定系数法求得抛物线的解析式，和直线的解析式即可；
（2）根据四边形CDPQ为平行四边形，利用PQ=CD，列出方程$-\frac{1}{6}{m^2}+\frac{2}{3}m+\frac{16}{3}$=$\frac{16}{3}$，解得：m₁=4，m₂=0（舍去），即可得到m的值为4；
（3）根据抛物线的解析式：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$，设P（a，b）（-4＜a＜8），得到b=$\frac{1}{6}{a}^{2}-\frac{1}{6}a-\frac{10}{3}$①，再根据直线AB的解析式：$y=\frac{1}{2}x+2$，得到Q（a，$\frac{1}{2}$a+2），根据PE⊥AB，得到直线PE的解析式为y=-2x+2a+b，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+2a+b}\end{array}\right.$，可得E的坐标，最后根据PE恰好被x轴平分，得出$\frac{2a+b+8}{5}$+b=0②，最后联立①②解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，求得Q（3，$\frac{7}{2}$），E（$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$），进而得到AQ：QE：EB的比值．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c经过点A（8，6）交x负半轴于点B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=\frac{1}{6}×64+8b+c}\\{0=\frac{1}{6}×16-4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{6}}\\{c=-\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$，
设直线AB的解析式为y=kx+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{6=8k+n}\\{0=-4k+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式：$y=\frac{1}{2}x+2$；

（2）①∵PQ⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴P（m，$\frac{1}{6}$m²-$\frac{1}{6}$m-$\frac{10}{3}$），Q（m，$\frac{1}{2}m+2$），
∴PQ=$\frac{1}{2}m+2$-（$\frac{1}{6}{m^2}-\frac{1}{6}m-\frac{10}{3}$）=$-\frac{1}{6}{m^2}+\frac{2}{3}m+\frac{16}{3}$；
②在抛物线$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$中，当x=0时，y=-$\frac{10}{3}$，
即D（0，-$\frac{10}{3}$），
在直线AB的解析式$y=\frac{1}{2}x+2$中，当x=0时，y=2，
即C（0，2），
∴CD=2-（$-\frac{10}{3}$）=$\frac{16}{3}$
∵四边形CDPQ为平行四边形，
∴PQ=CD，
∴$-\frac{1}{6}{m^2}+\frac{2}{3}m+\frac{16}{3}$=$\frac{16}{3}$，
解得：m₁=4，m₂=0（舍去），
∴m的值为4；

（3）∵抛物线的解析式：$y=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{6}x-\frac{10}{3}$，
∴设P（a，b）（-4＜a＜8），则b=$\frac{1}{6}{a}^{2}-\frac{1}{6}a-\frac{10}{3}$，①
∵直线AB的解析式：$y=\frac{1}{2}x+2$，
∴Q（a，$\frac{1}{2}$a+2），
∵PE⊥AB，
∴直线PE的解析式为y=-2x+2a+b，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+2a+b}\end{array}\right.$，可得E（$\frac{4a+2b-4}{5}$，$\frac{2a+b+8}{5}$），
∵PE恰好被x轴平分，
∴$\frac{2a+b+8}{5}$+b=0，②
联立①②解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴Q（3，$\frac{7}{2}$），E（$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$），
∴AQ：QE：EB=（8-3）：（3-$\frac{2}{3}$）：（$\frac{2}{3}$+4）=15：7：14．
故答案为：15：7：14．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，这是列方程的主要依据．解题时注意方程思想的灵活运用．