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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，BC=4cm，点P、Q分别从A、C两点出精英家教网发，点P沿射线AB、点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速直线运动．
    （1）求∠B的度数；
    （2）若P、Q同时出发，当AP的长为何值时，S△PCQ是S梯形ABCD的一半？
    （3）设PQ交直线CD于点E，作PF⊥CD于F，若Q点比P点先出发2秒，请问EF的长是否改变？证明你的结论．
    分析：（1）过A点作AG⊥BC，垂足为G，首先根据题干条件证明梯形ABCD是等腰梯形，然后在Rt△AFB中求出cosB的值，于是求出∠B的大小．
    （2）首先求出AF的长和梯形ABCD的面积，再分类讨论，①当0＜t≤2时，CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×
    		3
    2
    ，求出三角形PCQ的面积，最后列示求出t的值，②t＞2时，CQ=t，△CPD的高h=（t-2）×
    		3
    2
    ，求出三角形PCQ的面积，最后列示求出t的值，
    （3）设BC中点为H，连接AH，DH，作辅助线PX‖BC交CD于X，交AH为Y，根据条件证明△PXE∽△CQE，利用等腰梯形的性质求出PX和XE的长，利用FE=FX+XD即可证明EF是定值．
    解答：精英家教网解：（1）过A点作AG⊥BC，垂足为G，
    ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，
    ∴梯形ABCD是等腰梯形，
    ∴BG=1，
    ∴cosB=
    BF
    AB
    =
    1
    2
    ，
    ∴∠B=60°；

    （2）在Rt△AGB中，
    AG=
    		3
    ，
    ∴S梯形ABCD=
    1
    2
    （AD+BC）×AG=3
    		3
    ，
    设经过时间t（t≤2）后，S△PCQ是S梯形ABCD的一半，
    CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×
    		3
    2
    ，
    ∴S△PCQ=
    1
    2
    CQ•h=
    1
    2
    t•（2-t）×
    		3
    2
    ，
    当S△PCQ是S梯形ABCD的一半时，
    1
    2
    t•（2-t）×
    		3
    2
    =
    3
    		3
    2
    ，
    解得t不存在，
    当t＞2时，
    P点在AB的延长线上，
    △CPD的高h=（t-2）×
    		3
    2
    ，CQ=t，
    当S△PCQ是S梯形ABCD的一半时，
    1
    2
    t•（t-2）×
    		3
    2
    =
    3
    		3
    2
    ，
    解得t=1+
    		7
    s；

    （3）设BC中点为H，连接AH，DH，
    作辅助线PX∥BC交CD于Y，交AH为X，
    显然三角形APX是正三角形，AP=PX；
    AYXD是平行四边形，AD=XY．
    由于PY∥BC，很容易得出△PYE∽△CQE，
    又Q点比P点先出发2秒，均以1cm/s的速度作匀速直线运动，精英家教网
    就是说CQ比AP长2cm，
    CQ=2+AP，
    同时PX=XY+PX=AD+AP=2+AP，
    ∴CQ=PY，
    ∴PYE与CQE全等，YE=EC，
    ∵PY∥BC而梯形ABCD是底角为60度的等腰梯形，
    ∠FYP=60°，
    ∴FY=PY•cos60°=
    1
    2
    PY=
    1
    2
    （PX+XY）=
    1
    2
    （AP+2）=
    1
    2
    AP+1
    ∵PY∥BC，所以APXD也是底角为60°的等腰梯形AP=DX，且AP：PB=DX：XC，而XE=EC，
    ∴YE=
    1
    2
    （DC-DY）=
    1
    2
    （2-DY）=
    1
    2
    （2-AP）=1-
    1
    2
    AP，
    FE=FY+YD=
    1
    2
    AP+1+1-
    1
    2
    AP=2，
    故EF的长度不变．
    点评：本题主要考查等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质和等边三角形的性质，此题有一定的难度．
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    精英家教网已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（　　）
    A、
    8
    		6
    3
    B、4
    		6
    C、
    8
    		2
    3
    D、4
    		2

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    5、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，那么，图中全等三角形共有
    3
    对．

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    10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO-EO=3，则BC-AD等于（　　）

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    精英家教网如图，梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，cosC=
    		2
    10
    ．
    （1）求BC的长；
    （2）试在边AB上确定点P的位置，使△PAD∽△PBC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5，AD=3，对角线AC⊥BD，且∠DBC=30°，求梯形ABCD的高．

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