Question

如图所示，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：
①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b²+8a＞4ac．
其中正确的个数有________．
提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是，顶点坐标是．

Answer 1

①②③④
分析：首先根据抛物线的开口方向向下可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1说明抛物线的对称轴在-1～0之间，即x=-＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断，即可得到正确的选项．
解答：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=-＞-1，且c＞0；
①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；
②已知x=-＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（i），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（ii），
由①知：4a-2b+c＜0（iii）；联立（i）（ii），得：a+c＜1；联立（i）（iii）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确；
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正确；
因此正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
点评：本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．