Question

7．如图，在□ABCD，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=x．

（1）当x=1时，求AG：AB的值；
（2）设$\frac{{S}_{△GDH}}{{S}_{△EBA}}$=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当DH=3HC时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得：AD∥BC，由平行线分线段成比例定理得：$\frac{BE}{AG}=\frac{EF}{AF}$，由x=1得：$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=1，根据中点E得：AG=$\frac{1}{2}$AB，从而得出AG：AB的值；
（2）假设AB=1，则AD=x，由（1）得：BE=$\frac{x}{2}$，AG=$\frac{1}{2}$，DG=x-$\frac{1}{2}$，证明△GDH∽△EBA，根据面积比等于相似比的平方列式可求得y关于x的函数关系式；
（3）因为H是射线DC上一点，所以分两种情况：①如图2，当点H在边DC上时，根据已知DH=3HC，得$\frac{DH}{AB}=\frac{3}{4}$，再利用△GDH∽△EBA，列比例式可求得x的值；
②如图3，当H在DC的延长线上时，同理可求得x的值．

解答 解：（1）如图1，在□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴$\frac{BE}{AG}=\frac{EF}{AF}$，
∵x=1，即$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{AF}$=1，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BE}{AG}$=1，
∴AD=AB，AG=BE，
∵E为BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
即AG：AB=$\frac{1}{2}$；
（2）如图1，∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=x，
∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=$\frac{x}{2}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{BE}{AG}=\frac{EF}{AF}=x$，
∴AG=$\frac{1}{2}$，DG=AD-AG=x-$\frac{1}{2}$，
∵GH∥AE，
∴∠DGH=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DGH=∠AEB，
在□ABCD中，∠D=∠ABE，
∴△GDH∽△EBA，
∴$\frac{{S}_{△GDH}}{{S}_{△EBA}}$=（$\frac{DG}{BE}$）²，
∴y=$（\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}）^{2}$，
∴y=$\frac{4{x}^{2}-4x+1}{{x}^{2}}$；
（3）①如图2，当点H在边DC上时，
∵DH=3HC，
∴$\frac{DH}{DC}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DH}{AB}=\frac{3}{4}$，
∵△GDH∽△EBA，
∴$\frac{DG}{BE}=\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}$=$\frac{3}{4}$，
 解得：x=$\frac{4}{5}$；
②如图3，当H在DC的延长线上时，
∵DH=3HC，
∴$\frac{DH}{DC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{2}$，
∵△GDH∽△EBA，
∴$\frac{DG}{BE}=\frac{DH}{AB}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
   解得：x=2，
综上所述，可知x的值为$\frac{4}{5}$或2．

点评 本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，在相似形的综合题中，如果有平行的已知条件，可以直接根据平行线分线段成比例定理列比例式，不证明相似也可以；本题还利用了相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方；注意第三问中采用分类讨论的方法，不要漏解．