Question

15．已知平行于y轴的直线x=t，与直线y=x和直线y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．
（1）用含t的代数式表示D，E两点的坐标，并写出t的取值范围；
（2）若P是y轴上一动点，且△PDE是等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．

Answer 1

分析 将x=t代入解析式，得到y与t的关系式，然后根据直线在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况并以不同边为斜边构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出t的值，进而求出各点坐标．

解答 解：当x=t时，y=x=t；
当x=t时，y=-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$t+2．
∴E点坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t+2），D点坐标为（t，t）．
∵E在D的上方，
∴DE=-$\frac{1}{2}$t+2-t=-$\frac{3}{2}$t+2，且t＜$\frac{4}{3}$．
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
若t＞0，PE=DE时，-$\frac{3}{2}$t+2=t，
∴t=$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{2}$t+2=$\frac{8}{5}$，
∴P点坐标为（0，$\frac{8}{5}$）．
若t＞0，PD=DE时，-$\frac{3}{2}$t+2=t，
∴t=$\frac{4}{5}$，
∴P点坐标为（0，$\frac{4}{5}$）．
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴-$\frac{3}{2}$t+2=2t
∴t=$\frac{4}{7}$，DE的中点坐标为（t，$\frac{1}{4}$t+1），
∴P点坐标为（0，$\frac{8}{7}$）．
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-$\frac{3}{2}$t+2=-t，t=4＞0（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-$\frac{3}{2}$t+2=-2t，
∴t=-4，$\frac{1}{4}$t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．
综上所述：当t=$\frac{4}{5}$时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，$\frac{8}{5}$）或（0，$\frac{4}{5}$）；
当t=$\frac{4}{7}$时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0$\frac{8}{7}$）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

点评 此题难度很大，涉及变量较多，解答时需要将x转化为t，然后根据等腰三角形的性质进行推理，由于情况较多，容易造成漏解，故解答时要仔细．