分析 (1)先求抛物线的对称轴,由平行线分线段成比例定理可求得OA的长,由对称性求得B和A的坐标;
(2)由角平分线和平行线的性质得:CF=EF,设DC=EF=3x,分别表示出BF和BE的长,根据BE=$\frac{5}{2}$列方程可求得x的值,得出C的坐标,代入可求得抛物线的解析式;
(3)如图2,因为C在圆上,且EQ为直径,根据直径所对的圆周角为90°得:∠ECQ=90°,证明△OCE∽△PQC,列比例式可得结论.
解答 解:(1)对称轴为:直线x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$,
∴OE=$\frac{3}{2}$,
∵AD∥OC∥EF,
∴$\frac{DC}{CF}=\frac{AO}{OE}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AO}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$,
∴AO=1,
由对称性得:BE=AE=$\frac{5}{2}$,
∴A(-1,0),B(4,0);
(2)如图1,∵CE平分∠BCO,
∴∠OCE=∠ECB,
∵DC∥EF,
∴∠OCE=∠CEF,
∴∠CEF=∠ECB,
∴FC=EF,
设FC=EF=3x,
∵EF∥OC,
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{BF}{CF}$,
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{BF}{CF}$=$\frac{5}{3}$,
∴BF=5x,
∴BE=4x,
即4x=$\frac{5}{2}$,x=$\frac{5}{8}$,
∴BC=8x=8×$\frac{5}{8}$=5,
在Rt△OCB中,∴OC=3,
∴C(0,3),
∴c=3,
把A(-1,0)代入抛物线y=ax2-3ax+c中得:a+3a+3=0,
a=-$\frac{3}{4}$,
∴抛物线的解析式为:y=-$\frac{3}{4}$x2-$\frac{9}{4}$x+3;
(3)存在,
如图2,过Q作QP⊥y轴于P,
∵EQ为圆的直径,C在圆上,
∴∠ECQ=90°,
∴∠ECO+∠PCQ=90°,
∵∠ECO+∠OEC=90°,
∴∠PCQ=∠OEC,
∵∠OPQ=∠COE=90°,
∴△OCE∽△PQC,
∴$\frac{OC}{PQ}=\frac{OE}{PC}$,
设Q(x,-$\frac{3}{4}$x2-$\frac{9}{4}$x+3),
∴$\frac{3}{x}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3-3}$,
9x2-21x=0,
解得:x1=0(舍),x2=$\frac{7}{3}$,
当x=$\frac{7}{3}$时,y=-$\frac{3}{4}$×$(\frac{7}{3})^{2}$+$\frac{9}{4}$×$\frac{7}{3}$+3=$\frac{25}{6}$,
∴Q($\frac{7}{3}$,$\frac{25}{6}$).
点评 本题是二次函数与圆的综合题,考查了抛物线的对称轴公式、对称性、利用待定系数法求二次函数的解析式、圆周角定理,相似三角形的性质和判定,第三问,能利用90°的圆周角所对的弦是直径做出圆是关键,难度适中,是一道难得的压轴题.
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