Question

8．如图，一次函数y₁=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与函数y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交于点P（1，m），且F是PE的中点
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=a与直线l交于点A，与函数y₂的图象交于点B（异于P、A两点），则当a为何值时，PA=PB．

Answer 1

分析 （1）先由y=$\frac{4}{x}$，求出点P的坐标，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；
（2）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为2a+2，B点的纵坐标为$\frac{4}{x}$，D点的纵坐标为4，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由P（1，m）在y=$\frac{4}{x}$上，得m=4，
∴P（1，4），
∵F为PE中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$m=2，
∴F（0，2），
又∵P，F在y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线l的解析式为：y=2x+2．

（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又由题意知A点的纵坐标为2a+2，B点的纵坐标为$\frac{4}{a}$，D点的纵坐标为4，
∴得方程2a+2-$\frac{4}{a}$=（2a+2-4）×2，
解得a₁=1（不合题意，舍去），a₂=2．
∴当a=2时，PA=PB．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是求出直线l的解析式．