Question

【题目】在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．

（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；

（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝3; （2）见解析；（3）73.

【解析】

（1）根据勾股定理求出AC即可；

（2）在Rt△DOA中根据勾股定理有OD2+OA2＝AD2，同理有OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，又AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2

即可证明AB2+ CD2＝AD2+ BC2；

（3）连接CG、AE，根据∠GBC=∠EBA=900得∠ABG=∠EBC，则证明△ABG≌△EBC，则∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，由（2）可知AC2+GE2＝CG2+AE2，则可求出CG2、AE2 、AC2从而求出GE2.

解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5

∴AC＝=3

（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，

∴OD2+OA2＝AD2

同理：OD2+OC2＝CD2

OB2+OC2＝BC2

OA2+OB2＝AB2

∵AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2

AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2

∴AB2+ CD2＝AD2+ BC2

（3）∵∠GBC=∠EBA=900

∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA

∴∠ABG=∠EBC

如图1，在△ABG和△EBC中

∴△ABG≌△EBC（SAS）

∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4

∴∠5＝∠AIJ＝900

∴AG⊥CB

连接CG、AE，

由（2）可知

AC2+GE2＝CG2+AE2

在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2

CG2＝42+42＝32

在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2

AE2＝52+52＝50

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2

52＝AC2+42

AC2＝9

∴AC2+GE2＝CG2+AE2

9+ GE2＝32+50

GE2＝73