Question

20．如图，已知四边形ABCD是正方形，M是BC边上一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？请直接做出判断，不需要证明．

Answer 1

分析 （1）延长AE、BC交于点N，如图1（1）所示，由四边形ABCD为正方形，得到AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，根据DE=CE，利用AAS得到三角形ADE与三角形NCE全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=NC，由MN=MC+CN，等量代换即可得证；
（2）AM=DE+BM成立，理由为：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示，由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，AB=AD，且AB与DC平行，根据AF与AE垂直，利用等角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角形对应角相等，对应边相等得到BF=DE，∠F=∠AED，再由AB与DC平行，得到一对内错角相等，等量代换得到一对角相等，利用等角对等边得到AM=FM，等量代换即可得证．

解答 （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}&{\;}\\{∠AED=∠NEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD=NC，
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC；
（2）解：AM=DE+BM成立，
理由如下：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE，
在△ABF和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{∠ABE=∠D=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE，∠F=∠AED，
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∴AM=FB+BM=DE+BM．

点评 本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．