Question

如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，点P为直线CD上一点（不与点C重合）．
（1）在图1中画图探究：
当点P在CD延长线上时，连结EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ．作直线QF交直线CD于H，求证：QF⊥CD．
（2）探究：结合（1）中的画图步骤，分析线段QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系？请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填写这个关系式．
①当点P在CD延长线上且位于H点右边时，

QH-PH=2CE

；
②当点P在边CD上时，

QH+PH=2CE

．
（3）若AD=2AB=6，AE=1，连接DF，过P、F两点作⊙M，使⊙M同时与直线CD、DF相切，求⊙M的半径是多少？

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可得PE=QE，EF=ED，然后根据同角的余角相等求出∠PEC=∠QEF，再利用“边角边”证明△PEC和△QEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠QFE=∠PCE，再求出EF∥CD，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠QHC=90°，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得QF=PC，再证明得到四边形EFHC是正方形，然后根据正方形的性质可得CH=FH=CE，然后分点P在CD延长线上和边CD上两种情况饶了求解；
（3）求出DE的长，再利用勾股定理列式求出EC，然后求出DH，再次利用勾股定理列式求出FD，过点M作MN⊥FH于N，可得四边形PMNH是矩形，设⊙M的半径是r，然后分①点P在点D的右边时，在Rt△MNF中，表示出FN、MN，利用勾股定理列出方程求解即可；②点P在点D的左边时，在Rt△MNF中，表示出FN、MN，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）由旋转的性质得，PE=QE，EF=ED，
∵∠QEF+∠FEP=∠PEQ=90°，
∠PEC+∠FEP=∠CEF=90°，
∴∠PEC=∠QEF，
在△PEC和△QEF中，

PE=QE ∠PEC=∠QEF EF=ED

，
∴△PEC≌△QEF（SAS），
∴∠QFE=∠PCE=90°，
∵∠FEC+∠PCE=90°+90°=180°，
∴EF∥CD，
∴∠QHC=∠QFE=90°，
∴QF⊥CD；

（2）∵△PEC≌△QEF，
∴QF=PC，
∵∠PCE=∠CEF=∠QHC=90°，CE=EF，
∴四边形EFHC是正方形，
∴CH=FH=CE，
①如图1，当点P在CD延长线上且位于H点右边时，QH=QF+FH=PC+FH=PH+CH+FH=PH+2CE，
∴QH-PH=2CE；
②如图2，当点P在边CD上时，QH=QF+FH=PC+FH=CH-PH+FH=2CE-PH，
∴QF+PH=2CE；

（3）∵AD=6，AE=1，
∴DE=5，
在Rt△CDE中，CE=

DE2-CD2

=

52-32

=4，
∴DH=CH-CD=CE-CD=4-3=1，
在Rt△DFH中，FD=

FH2+DH2

=

42+12

=

17

，
如图，过点M作MN⊥FH于N，
则四边形PMNH是矩形，
∵⊙M同时与直线CD、DF相切，
∴DP=FD=

17

，
设⊙M的半径是r，
①点P在点D的右边时，在Rt△MNF中，FN=4-r，MN=

17

-1，
由勾股定理得，FN²+MN²=MF²，
即（4-r）²+（

17

-1）²=r²，
解得r=

17- 17

4

，
②点P在点D的左边时，在Rt△MNF中，FN=r-4，MN=

17

+1，
由勾股定理得，FN²+MN²=MF²，
即（r-4）²+（

17

+1）²=r²，
解得r=

17+ 17

4

，
综上所述，⊙M的半径是

17- 17

4

或

17+ 17

4

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，切线长定理，（3）难点在于作辅助线构造出全等三角形和矩形．