Question

如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C=90°，AC=6，BC=8，则图中阴影部分（即指线段CE、CF及围成的图形）的面积是________．

Answer 1

4-π
分析：连接OE、OF，求出AB．根据⊙O是△ACB的内切圆得出AE=AD，BD=BF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，OE=OF，推出正方形OECF，设⊙O的半径是R，得出6-R+8-R=10，求出R，根据根据阴影部分的面积等于S_{正方形OECF}-S_扇形OEF，代入求出即可．
解答：连接OE、OF，
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，
∵⊙O是△ACB的内切圆，切点为E、F、D，
∴AE=AD，BD=BF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴∠EOF=90°，CE=CF=OE，
∴AE+BF=AB=10，
设⊙O的半径是R，
则6-R+8-R=10，
解得：R=2，
∴阴影部分的面积是：S_{正方形OECF}-S_扇形OEF=2×2-=4-π．
故答案为：4-π．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，切线长定理，勾股定理，扇形的面积等知识点的应用，关键是正确作辅助线后能求出正方形和扇形的面积，本题综合性比较强，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好．