Question

2．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可证得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；
（2）证出四边形BMND是平行四边形，再证出∠BDN=90°，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，
∴△ABM∽△NDA；

（2）解：当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形；理由如下：
∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°，
∴∠AMB=22.5°，
∴∠BAM=∠AMB，
∴AB=BM，
同理AD=DN，
∵AB=AD，∴BM=DN，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠BDN=∠DBM=90°
∴∠BDN+∠DBM=180°，
∴BM∥DN
∴四边形BMND为平行四边形，
∵∠BDN=90°，
∴四边形BMND为矩形．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质．注意能证得当四边形BMND为矩形时，△ABM是等腰三角形是难点．