Question

已知：如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，过点P作DP的垂线交BC于点G，DG交AC于点Q．下列说法：①EF=DP；②EF⊥DP；③

DG

DP

=

2

；④

AP2+QC2

PQ2

=

2

．其中正确的是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：根据题意先证明△AHP≌△AEP，△PHD≌△EPF，从而得到①②正确，再由三角形PDG为等腰直角三角形，得出③正确．

解答：解：作PH⊥AD交AD于H，
∵PH=PE，∠HAP=∠EAP，∠AHP=∠AEP
∴△AHP≌△AEP（AAS）
∴AH=AE，HD=BE=PF，
∵HP=EP，∠EPF=∠PHD=90°
∴△PHD≌△EPF（HL）
∴EF=DP，∠EFP=∠PDH，
∵EP平行且相等于BF，BE=FP
∴△EBF≌△EPF（HL）
∴EB=PF，∠EFP=∠FPG，
∵∠EBF=∠PFG=90°，
∴∠BEF=∠EFP=∠FPG，
∴△EBF≌△PFG（ASA）
∴EP平行且相等于FG
∴四边形EFGP是平行四边形
依题意PG⊥DP，故EF⊥DP，
由上得出△PHD≌△EPF，△EBF≌△EPF，△EBF≌△PFG
∴△PHD≌△PFG
∴PD=PG，三角形PDG为等腰直角三角形，
故

DG

DP

=

2

所以①②③正确，故选B．

点评：本题综合考查了全等三角形的判定，正方形的性质，矩形的性质等有关知识的运用，涉及大量的全等三角形的证明．