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4.如图,在△ABC中,AB=AC,D在边AC上,且BD=DA=BC.
(1)如图1,填空∠A=36°,∠C=72°.
(2)如图2,若M为线段AC上的点,过M作直线MH⊥BD于H,分别交直线AB、BC与点N、E.
①求证:△BNE是等腰三角形;
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系,并加以证明.

分析 (1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠DBA=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠C,根据三角形的内角和即可得到结论;
(2)①根据已知条件得到∠ABD=∠CBD=36°,根据垂直的定义得到∠BHN=∠EHB=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论;
②由①知,BN=BE,根据线段的和差和等量代换即可得到结论.

解答 解:(1)∵BD=BC,
∴∠BDC=∠C,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠A=∠DBC,
∵AD=BD,
∴∠A=∠DBA,
∴∠A=∠DBA=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠C,
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°,
∴∠A=36°,∠C=72°;
故答案为:36,72;
(2)①∵∠A=∠ABD=36°,
∠B=∠C=72°,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∵BH⊥EN,
∴∠BHN=∠EHB=90°,
在△BNH与△EBH中,$\left\{\begin{array}{l}{∠NBH=∠EBH}\\{BH=BH}\\{∠BHE=∠BHN}\end{array}\right.$,
∴△BNH≌△EBH,
∴BN=BE,
∴△BNE是等腰三角形;
②CD=AN+CE,
理由:由①知,BN=BE,
∵AB=AC,
∴AN=AB-BN=AC-BE,
∵CE=BE-BC,
∵CD=AC-AD=AC-BD=AC-BC,
∴CD=AN+CE.

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

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