Question

如图所示,四个小朋友分别站在正方形ABCD四条边的A₁、B₁、C₁、D₁处,请探究下列问题:

(1)满足什么条件时,四个小朋友所站点为顶点的四边形A₁B₁C₁D₁是正方形?(只写探究出的结论)

(2)要使四边形A₁B₁C₁D₁是正方形,且面积为大正方形ABCD面积的,则四个小朋友应站在各边的什么位置上?(写出证明与计算过程)

Answer 1

答案：
解析：

(1)解:AA1=BB1=CC1=DD1(答案不唯一) (2)由(1)知当AA′=BB′=CC′=DD′时,四边形A1B1C1D1是正方形. 证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠B=∠C=90°,AA1=BB1. ∴AB—AA1=BC—BB1,A1B=B1C,BB1=CC1. ∴Rt△A1BB1≌RtB1CC1,A1B1=B1C1,∠A1B1B=∠B1C1C. ∵∠B1C1C+∠C1B1C=90°, ∴∠A1B1B+∠C1B1C=90°.∴∠A1B1C1=90°. 同理A1B1=A1D1=D1C1=B1C1,即四边形A1B1C1D1是正方形. 设大正方形ABCD边长为1,AA1=x(0<x<1), 则A1B=1—x,BB1=x. A1B12=A1B2+BB12=(1—x)2+x2=1—2x+2x2. A1B12=·AB2=. ∴2x2—2x+=0. 解得x1=,x2=. 四位小朋友应站在分别距A、B、C、D四点是边长的或的A1、B1、C1、D1处.