Question

【题目】如图所示抛物线过点，点，且

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；

（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）

【解析】

（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；

（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；

（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．

（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，

故-3a=3，解得：a=-1，

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；

对称轴为：直线

（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，

故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，

取点A′（-1，1），则A′D=AE，

故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，

又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，

则BE：AE，=3：5或5：3，

则AE=或，

即：点E的坐标为（，0）或（，0），

将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，

解得：k=-6或-2，

故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②

联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），

故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．