Question

如图，点D、E在AB上，点F在AC上，点G在BC上，四边形DEFG是正方形，且DE²=BD•AE，△ABC是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

分析：根据正方形的四条边都相等可得DE=GD=EF，然后把乘积式DE²=BD•AE转化为比例式，从而证明△AEF与△GDB相似，根据相似三角形的对应角相等得到∠A=∠BGD，再利用角的关系推出∠A+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形．

解答：解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=GD=EF，
∵DE²=BD•AE，
∴

DE

AE

=

BD

DE

，
即

GD

AE

=

BD

EF

，
又∵∠BDG=∠FEA=90°，
∴△AEF∽△GDB，
∴∠A=∠BGD，
在Rt△BGD中，∠B+∠BGD=180°-90°=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，把乘积式转化为比例式，从而证明两三角形相似是解题的关键，也是本题的突破口．