【题目】如图,点E是正方形ABCD中CD边上任意一点,AB=4,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°得到△AD′F
(1)画出旋转后的图形,求证:点C、B、F三点共线;
(2)AG平分∠EAF交BC于点G.
①如图2,连接EF.若BG:CE=5:6,求△AEF的面积;
②如图3,若BM、DN分别为正方形的两个外角角平分线,交AG、AE的延长线于点M、N.当MM∥DC时,直接写出DN的长.
【答案】(1)详见解析;(2)① ②.
【解析】
(1)旋转后的图形如图1中所示,利用旋转不变性即可解决问题;
(2)①如图2中,连接EG.首先证明EG=BG+DE,设BG=5k,CE=6k,则DE=4-6k,CG=4-5k,EG=4-k,在Rt△EGC中,根据EG2=EC2+CG2即可解决问题;
②如图3中,连接EG,延长MN交AD的延长线于点P,作MQ⊥AB交AB的延长线于点Q.由题意可知:△PDN,△BMQ都是等腰直角三角形,设DP=PN=x,BG=a,DE=b.想办法构建方程组即可解决问题.
(1)证明:旋转后的图形如图1中所示,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
∵∴点D′与点B重合,
∵∠AD′F=90°,
∴∠AD′F+′AD′C=180°,
∴C,B,F共线.
(2)①解:如图2中,连接EG.
∵∠BAF=∠DAE,
∴∠EAF=∠DAB=90°,
∵AG平分∠EAF,
∴∠EAG=×90°=45°,
∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=∠BAG+∠DAE=45°,
∴∠FAG=∠EAG,
∵AG=AG,AF=AE,
∴△GAE≌△GAF(SAS),
∴FG=EG,
∴EG=BF+BG=DE+BG,
∵BG:CE=5:6,
∴可以假设BG=5k,CE=6k,则DE=4﹣6k,CG=4﹣5k,EG=4﹣k,
在Rt△EGC中,∵EG2=EC2+CG2,
∴(4﹣k)2=(6k)2+(4﹣5k)2,
∴k=,
∴DE=,
∴AE=AF=,
∴S△AEF=AEAF=.
②解:如图3中,连接EG,延长MN交AD的延长线于点P,作MQ⊥AB交AB的延长线于点Q.
由题意可知:△PDN,△BMQ都是等腰直角三角形,设DP=PN=x,BG=a,DE=b.
∵四边形AQMP是矩形,
∴MQ=BQ=AP=4+x,
∵DE∥PN,
∴,即①,
∵BG∥MQ,
∴,即②
在Rt△BCG中,∵EG2=EC2+CG2,
∴(a+b)2=(4-a)2+(4-b)2 ③,
由①②③可得x=2或-2(舍弃)
∴DN=x=2.
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【题目】某品牌牛奶供应商提供A,B,C,D四种不同口味的牛奶供学生饮用.某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好,对全校订牛奶的学生进行了随机调查,并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.根据统计图的信息解决下列问题:
(1)本次调查的学生有多少人?
(2)补全上面的条形统计图;
(3)扇形统计图中C对应的中心角度数是_____;
(4)若该校有600名学生订了该品牌的牛奶,每名学生每天只订一盒牛奶,要使学生能喝到自己喜欢的牛奶,则该牛奶供应商送往该校的牛奶中,A,B口味的牛奶共约多少盒?
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;
(2)如图②,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.
①求证△ADB≌△AOB;
②求点H的坐标.
(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC、BD相交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,若AB=,BD=2,则OE的长等于________.
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【题目】综合与探究:如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴上,且顶点O与坐标原点重合,点A的坐标为(2,4),直线y=-x+b过点A,与x轴交于点B.
(1)求点B的坐标及直线AB的解析式;
(2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O-C-A的路线向点A运动,同时动点M从点B出发,以相同的速度沿BO的方向向O运动,过点M作MQ⊥x轴,交线段BA或线段AO于点Q,当点P到达A点时,点P和点M都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.△APQ的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线.
求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标.
在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象.
将该抛物线向下平移2个单位,向左平移3个单位得到抛物线,此时点P的对应点为,试求直线与y轴的交点坐标.
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【题目】已知直线l与⊙O,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D.
(1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;
(2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.
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【题目】假期,六盘水市教育局组织部分教师分别到A.B.C.D四个地方进行新课程培训,教育局按定额购买了前往四地的车票.如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)若去C地的车票占全部车票的30%,则去C地的车票数量是 张,补全统计图.
(2)若教育局采用随机抽取的方式分发车票,每人一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀),那么余老师抽到去B地的概率是多少?
(3)若有一张去A地的车票,张老师和李老师都想要,决定采取旋转转盘的方式来确定.其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4,乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9,如图2所示.具体规定是:同时转动两个转盘,当指针指向的两个数字之和是偶数时,票给李老师,否则票给张老师(指针指在线上重转).试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平.
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【题目】二次函数的图象与x轴交于点A(-1, 0),与y轴交于点C(0,-5),且经过点D(3,-8).
(1)求此二次函数的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在原点处,并写出平移后抛物线的解析式.
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