Question

如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DC=4DF，试判断△BEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：首先设DF=x，则DC=AB=BC=4x，则AE=ED=2x，CF=4x-x=3x，然后再利用勾股定理表示出EF²，EB²，BF²，再根据它们的关系得到EF²+EB²=BF²，根据勾股定理逆定理可得△BEF是直角三角形．

解答：解：△BEF是直角三角形．
设DF=x，则DC=AB=BC=4x，
∴AE=ED=2x，CF=4x-x=3x．
在Rt△EDF中，EF²=ED²+DF²=x²+（2x）²=5x²；
在Rt△AEB中，EB²=EA²+AB²=（2x）²+（4x）²=20x²；
在Rt△BCF中，BF²=BC²+CF²=（4x）²+（3x）²=25x²；
∴EF²+EB²=BF²，
∴△BEF是直角三角形．

点评：此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．