Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=8，AC=12时，求EM的长；
（3）在（2）的条件下，可求出⊙O的半径为3，线段BG的长2．

Answer 1

分析 （1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，由相似三角形的性质，可求出圆的半径，在直角三角形AEB中根据勾股定理可求出AE的长，再由平行线分线段成比例定理即可求出EM 的长；
（3）由（2）可知圆的半径为3，过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．

解答 解：
（1）证明：连接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$，
∵AC=AB=12，
即$\frac{R}{4}=\frac{12-R}{12}$，
解得R=3，
∴⊙O的半径为3，
∵OM∥BE，
∴AM：EM=AO：BO，
∵BE=4，AB=12，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8$\sqrt{2}$
即$\frac{8\sqrt{2}-EM}{EM}=\frac{9}{3}$．
解得：EM=2$\sqrt{2}$；
（3）由（2）可知圆的半径为3，
过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四边形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2．
故答案为：3，2．

点评 本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，矩形的判断和性质、勾股定理的运用以及平行线的判断和性质，综合性较强，难度较大．熟记和圆有关系的性质定理和判断定理是解题的关键．