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如图,已知:AO为⊙O1的直径,⊙O1与⊙O的一个交点为E,直线AO交⊙O于B、C两点,过⊙O的切线GF,交直线AO于点D,与AE的延长线垂直相交于点F,OG∥AF.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=2,AE=6,求△ODG的周长.

【答案】分析:(1)连接OE,由于AO是⊙O1的直径,则直径对的圆周角是直角,所以∠AEO=90°,而OE是圆O的半径,所以AE是圆O的切线;
(2)由切割线定理可求得AC,BC的长,从而得到四边形FGOE是正方形,根据平行线的性质可求得DG的长;再根据勾股定理得到CD的长,这样△ODG的周长就不难求得了.
解答:(1)证明:连接OE,
∵AO是⊙O1的直径,
∴∠AEO=90°.
∵OE是⊙O的半径,
∴AE是⊙O的切线.

(2)解:∵AE是⊙O的切线,ACO是⊙O的割线,
∴AE2=AB•AC.
∴AC=18,BC=AC-AB=16,OG=OB=8.
∵OE⊥AF,OG⊥DF,DF⊥AF,EF=FG,OE=OG,
∴四边形FGOE是正方形,
∴EF=OG=8,AF=14.
∵OG∥AF,
∴OG:AF=DG:(DG+FG).
解得DG=
在Rt△OGD中,OG2+DG2=OD2,即82+(2=(8+CD)2
解得,CD=
∴△ODG的周长=DG+CD+OC+OG=32.
点评:本题利用了切线的性质,切割线定理,勾股定理,正方形的性质的综合运用.
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