Question

如图，已知O是正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心、OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径；
（3）对于以点M、E、A、F以及CD与⊙O的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请给出证明．

Answer 1

分析：（1）过O作ON⊥CD于N，然后证ON的长等于⊙O的半径即可；连接OM，根据正方形和角平分线的性质，证OM=ON即可．
（2）若正方形的边长为1，则对角线AC的长为

2

，可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长，然后根据AC的长度求出⊙O的半径．
（3）五边形中可能相等边的有两组：①AE=AF=MN，②ME=MF；
①易证得四边形OMCN是正方形，那么△MNC是等腰直角三角形，而MC、CN都等于⊙O的半径，即可求得MN的长；下面求AE、AF的长，以AE为例，易求得BM的长，根据切割线定理即可求得BE的长，进而可得到AE的长，AF的求法相同，然后比较AE、AF、MN是否相等即可；
②求ME=MF，证△MBE≌△NDF即可．

解答：（1）证明：连接OM，则OM⊥BC，过O作ON⊥CD于N．（1分）
∵点O在正方形ABCD的对角线AC上，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴OM=ON．
∵OA=OM，
∴ON=OM=OA，即ON是⊙O的半径．
∵ON⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点N．

（2）解：设⊙O的半径为R，则OM=R．
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=

2

，OC=

2

-R．
在Rt△OMC中，
∵sin∠OCM=

OM

OC

，
∴sin45°=

R

2 -R

，
解之，得R=2-

2

．

（3）解：对五边形MEAFN的五条边，从相等关系考虑，有
①AE=AF=MN；②EM=FN．
证明如下：
①∵∠OMC=∠ONC=∠MCN=90°，OM=ON，
∴四边形OMCN是正方形．
MC=NC=R=2-

2

，BM=DN=

2

-1，
在Rt△MNC中，MN=

2

R=2

2

-2；
∵BC切⊙O于M，
∴BM²=BE•BA，
∴BE=

BM2

BA

=(

2

-1)2=3-2

2

，
同理DF=3-2

2

，
∴AE=AF=1-（3-2

2

）=2

2

-2，
∴AE=AF=MN．（9分）
②∵在Rt△EBM和Rt△FDN中，

BE=DF ∠B=∠D=90° BM=DN

，
∴△EBM≌△FDN．
∴EM=FN．

点评：此题考查了正方形的性质、切线的判定、切割线定理以及全等三角形的判定等知识，难度适中．