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5.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△BCP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

分析 (1)由二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直接利用待定系数法,即可求得这个二次函数的表达式;
(2)首先过点P作PE∥y轴,交BC于点D,交x轴于点E,然后求得直线BC的解析式,即可由S△BCP=S△PCD+S△PBD=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD(OE+BE)=$\frac{1}{2}$PD•OB,求得答案;
(3)分别从BC是边与对角线去分析求解即可求得答案.

解答 解:(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$,
∴这个二次函数的表达式为:y=$\frac{2}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x-2;

(2)存在.
如图1,过点P作PE∥y轴,交BC于点D,交x轴于点E,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
∵C(0,-2),B(3,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为:y=$\frac{2}{3}$x-2,
设P(x,$\frac{2}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x-2),则点D(x,$\frac{2}{3}$x-2),
∴S△BCP=S△PCD+S△PBD=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD(OE+BE)=$\frac{1}{2}$PD•OB=$\frac{1}{2}$×[$\frac{2}{3}$x-2-($\frac{2}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x-2)]×3=-x2+3x=-(x-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{9}{4}$,
∴当x=$\frac{3}{2}$时,使△BCP的面积最大,
∴点P($\frac{3}{2}$,-$\frac{5}{2}$);

(3)存在.
若BC是边,如图2,
则BC∥MQ,BC=MQ,
过点M作MH⊥x轴,
∴△MQH≌△BOC,
∴MH=OC=2,QM=OB=3,
∴当y=2时,$\frac{2}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x-2=2,
解得:x=1±$\sqrt{7}$,
∴Q1的横坐标为:1+$\sqrt{7}$-3=$\sqrt{7}$-2,Q2的横坐标为:1-$\sqrt{7}$-3=-2-$\sqrt{7}$,
∴Q1($\sqrt{7}$-2,0),Q2(-2-$\sqrt{7}$,0);
若BC为对角线,如图3,
则BQ∥CM,BQ=CM,
∵M(2,-2),
∴CM=2,
∴BQ=2,
∴OQ=1,
∴Q3(1,0),
BC为平行四边形的边时,则BQ∥CM,BQ=CM,
∵M(2,-2),
∴CM=2,
∴BQ=2,
∴OQ=5,
∴Q4(5,0),

综上,Q1($\sqrt{7}$-2,0),Q2(-2-$\sqrt{7}$,0),Q3(1,0),Q4(5,0).

点评 此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及平行四边形的性质.注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.

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