Question

如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（　　）

• A、

  2 5

  5

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：当⊙O与AM相切于D时，⊙O与AM有唯一的公共点，则∠BDC最大，此时sin∠BDC的最大，如图，作BH⊥AD于H，可判断△ABH为等腰直角三角形，则∠ADB=45°，AH=

2

2

AB=

2

，再根据切割线定理得AD²=AB•AC=8，计算出AD=2

2

，于是可判断BH为△ACD的中位线，则BH∥CD，所以CD⊥AM，得到∠BDC=45°，于是有sin∠BDC=

2

2

．

解答：解：当⊙O与AM相切于D时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的最大，如图，
作BH⊥AD于H，
∵∠A=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，AH=

2

2

AB=

2

，
∵AD为⊙O的切线，
∴AD²=AB•AC=2（2+2）=8，
∴AD=2

2

，
∴DH=AH=

2

，
∴BH为△ACD的中位线，
∴BH∥CD，
∴CD⊥AM，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=45°，
∴sin∠BDC=

2

2

．
故选C．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．