Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

解：
（1）依题意，设OA=k，OB=3k，OC=3k（k＞0）
∴A（-k，0）、B（2k，0），C（0，3k）
∴AB=4k，OC=3k
S_△OAP=AB．OC=4k．3k=6
∴k=1
∴点A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）
∵图象过A（-1，0）、B（3，0）
∴y=a（x+1）（x-3）
∵图象过C（0，3）
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
即∴y=-x²+2x+3；

（3）存在．
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．
由（2）知，AB=4，
∴|x|=4，y=OC=3．
∴x=±4．
∴点M的坐标为M（4，3）或（-4，3）．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．
∵四边形AMBC是平行四边形，
∴AC=MB，且AC∥MB．
∴∠CAO=∠MBN．
∴△AOC≌△BNM．
∴BN=AO=1，MN=CO=3．
∵OB=3，
∴ON=3-1=2．
∴点M的坐标为M（2，-3）
综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．M₁（4，3）或M₂（-4，3）或M₃（2，-3）；

（4）若存在点P使△BCP的面积最大，则点P在与直线BC平行且和抛物线只有一个交点的直线PE上，设PE与x轴相交于点E，
直线BC为y=-x+3
∴设直线PE为y=-x+b（如图）．
∴．
∴-x²+2x+3=-x+b即
∴x²-3x+b-3=0
∵抛物线与直线只有一个交点
∴△=（-3）²-4（b-3）=0
∴b=在直线PE：y=-x+中，
，
解得：，
∴P（，）
∵PE∥BC
∴S_△BCP=S_△BCE=BE×CO=××3=．
∴△BCP的最大面积为．
分析：（1）本题可根据OA、OB、OC的比例关系，设出这三条线段的长，然后根据△ABC的面积求出OA、OB、OC的长，也就得出了A、B、C三点的坐标；
（2）可根据（1）得出的A、B、C三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当M在x轴上方时，平行四边形以AC或BC为对角线．那么M点的坐标可用C的坐标向左或向右平移AB个单位来得出．
②当M在x轴下方时，平行四边形以AB为对角线．可通过构建全等三角形来求M点的坐标，过M作MN⊥AB于N，
那么△MNB≌△COA，可据此来求出M点的坐标；
（4）如果要△PBC的面积最大，那么P到AB的距离就要最大，因此P点必在与BC平行且只与抛物线有一个交点的直线上，设这条直线为PE（E在x轴上），可设出直线PE的函数解析式（其斜率与直线BC相同），然后联立抛物线的解析式可得出一个关于x的方程，由于这两个函数只有一个交点，因此方程的△=0，由此可求出直线PE的解析式．进而可求出P点的坐标．进而可求出△BCP的面积．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定、函数图象的交点等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．