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8.如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的是速度都为1厘米/秒.当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(秒).

(1)当运动时间为t秒时,AP的长为t厘米,QC的长为4-t厘米;(用含t的式子表示)
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(3)连接AQ、CP,相交于点M,如图2,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.

分析 (1)结合路程=速度×时间进行填空;
(2)需要分类讨论:分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况;
(3)∠CMQ=60°不变.通过证△ABQ≌△CAP(SAS)得到:∠BAQ=∠ACP,由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.

解答 解:(1)依题意得:AP=t,QC=4-t.
故答案是:t;4-t;

(2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t
①当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得4-t=2t,t=$\frac{4}{3}$;
②当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(4-t),t=$\frac{8}{3}$;
∴当第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时,△PBQ为直角三角形.

(2)∠CMQ=60°不变.理由如下:
∵在△ABQ与△CAP中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠CAP=60°}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.

点评 本题考查了三角形综合题,其中涉及到了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质.掌握判定三角形全等的方法,分类讨论是解决问题的关键.

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