Question

（1）如图（1），AB⊥BD，CD⊥BD，AD与BC相交于点E，EF⊥BD，试说明：

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；
（2）如图（2）若AB∥EF∥CD，请直接回答（1）中结论是否成立；
（3）在（2）中找出S_△ABD、S_△BED和S_△BDC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证EF∥AB∥CD，则△ABD∽△EFD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得

EF

AB

=

DF

BD

，同理

EF

CD

=

BF

BD

，两式相加即可证得；
（2）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（3）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．

解答：（1）证明：∵AB⊥BD，EF⊥BD，
∴EF∥AB，
∴△ABD∽△EFD，
∴

EF

AB

=

DF

BD

，
同理

EF

CD

=

BF

BD

，
∴

EF

AB

+

EF

CD

=

DF

BD

+

BF

BD

=

BD

BD

=1，即（

1

AB

+

1

CD

）•EF=1，
∴

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；

（2）成立．
证明：∵AB∥EF，
∴

EF

AB

=

DF

BD

，
∵CD∥EF
∴

EF

CD

=

BF

BD

，
∴∴

EF

AB

+

EF

CD

=

DF

BD

+

BF

BD

=

BD

BD

=1，
∴

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；

（3）关系式为：

1

S△ABD

+

1

S△BDC

=

1

S△BED

．
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：

1

AM

+

1

CK

=

1

EN

，
∴

2

BD•AM

+

2

BD•CK

=

2

BD•EN

，即

1

1 2 •BD•AM

+

1

1 2 •BD•CK

=

1

1 2 •BD•EN

，
又∵

1

2

•BD•AM=S_△ABD，

1

2

•BD•CK=S_△BCD，
∴

1

2

•BD•EN=S_△BED，
∴

1

S△ABD

+

1

S△BDC

=

1

S△BED

．

点评：考查了相似三角形的判定与性质，正确通过相似三角形的性质把线段的比进行转化是关键．同时考查了平行线分线段成比例定理的运用．