Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．
（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；
（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x²+ax+b=0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a²，求b的值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形AOC、BOC、ABC中，根据数量关系利用勾股定理可求出点C的坐标；
（2）先利用根与系数的关系确定a、b的数量关系，再利用三角函数和三角形的面积公式求出a²的值．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，AO²+OC²=AC²，∴4²+OC²=AC²． ①
在Rt△BOC中，BO²+OC²=BC²，∴1²+OC²=BC²． ②
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，∴AC²+BC²=5²． ③
由①、②两式可得AC²-BC²=15，
与第③式联立可解得BC=

5

，AC=2

5

．
∴OC=2．
∴点C的坐标为（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是关于x的一元二次方程x²+ax+b=0的两个实数根，
∴sinA+cosA=-a，sinA•cosA=b．
又∵sinA²+cosA²=1，
则sinA²+cosA²=（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=a²-2b=1．
∴a²=2b+1①，
在Rt△ADE中，sinA=

DE

AD

，
在Rt△AOD中，cosA=

AD

OA

，
∴sinA•cosA=

DE

AD

•

AD

OA

=

DE

OA

=

a2

4

=b，
∴a²=4b②，
由①②，可得b=

1

2

．

点评：此题综合考查了一元二次方程与解直角三角形的关系，难度较大．