Question

如图所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．且，OA=4
（1）求直角梯形OABC的面积及直线BC的解析式；
（2）当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过B作BF⊥x轴于F，得，OF=AB=2，BF=OA=4且得直角三角形BFC，
所以根据勾股定理得：CF²=BC²-BF²=-4²=4，
∴CF=2，OC=CF+OF=2+2=4，
所以直角梯形OABC的面积为：（4+2）×4÷2=12．
由已知和计算得B、C两点的坐标分别为：（-2，4），（-4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则得；
4=-2k+b ①
0=-4k+b ②
由①②得k=2，b=8，
所以直线BC的解析式为：y=2x+8．

（2）存在，所有满足条件的点P的坐标分别为：
P₁（-12，4），P₂（-8，4），P₃（-4，4），P₄（，4），P₅（8，4）．
分析：（1）先过B作BF⊥x轴交x轴于F，会得到，OF=AB=2，及直角三角形BFC，能求得CF，OC=CF+OF，从而求出直角梯形OABC的面积，这样得出B、C两点的坐标．由点斜式y=kx+b，把B、C点的坐标代入求出k和b即能求出直线BC的解析式．
（2）当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形的点可以确定纵坐标都为4，有两相等的直角边确定横坐标．
点评：此题考查的知识点是一次函数的应用及直角三角形的性质应用，其关键是通过解直角三角形确定点的坐标求解．