Question

关于x的一元二次方程（m²-1）x²-2（m-2）x+1=0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点A（-1，-1）是抛物线y=（m²-1）x²-2（m-2）x+1上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先列出方程的根的判别式，若方程有两个相等的实数根，那么判别式必大于0，可据此求出m的取值范围，需要注意的是，此方程式一元二次方程，二次项系数不等于0的条件不能丢．
（2）将点A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式．
（3）首先根据抛物线的对称轴得到点B的坐标，然后分两种情况考虑：①此直线过B点且与y轴平行，显然这种情况符合题意；②若直线与y轴不平行，那么可根据点B的坐标设出该直线的解析式（只有一个未知系数），若此直线与抛物线只有一个交点，那么联立直线和抛物线所得方程的根的判别式应该等于0，可据此确定直线的解析式．

解答：解：（1）由题意得，△=[-2（m-2）]²-4（m²-1）＞0，
解得，m＜

5

4

，
又∵m²-1≠0，
解得，m≠±1；
当m＜

5

4

且m≠±1时，方程有两个不相等的实数根．（1分）

（2）由题意得，m²-1+2（m-2）+1=-1，
解得，m=-3，m=1（舍），（2分）
y=8x²+10x+1．（3分）

（3）抛物线的对称轴是x=-

5

8

，
由题意得，B（-

1

4

，-1）；（4分）
x=-

1

4

与抛物线有且只有一个交点B；（5分）
另设过点B的直线y=kx+b（k≠0），
把B（-

1

4

，-1）代入y=kx+b，得-

k

4

+b=-1，
b=

1

4

k-1，
y=kx+

1

4

k-1，

y=8x2+10x+1 y=kx+ 1 4 k-1

，
整理得，8x²+（10-k）x-

1

4

k+2=0；
有且只有一个交点，△=(10-k)2-4×8×(-

1

4

k+2)=0，
解得，k=6，（6分）
y=6x+

1

2

，（7分）
综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有x=-

1

4

，y=6x+

1

2

．

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式，函数图象交点坐标的求法等知识，难度适中．