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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，矩形OABC中，AB=10cm，BC=20cm，P、Q两点同时从A点出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿A→B→C→O→A运动，当Q点到达A点时，P、Q两点立即停止运动，设运动时间为ts．
    （1）当t=7s时，求过O、A、Q三点的抛物线解析式．
    （2）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，为何值时，以Q、B、P三点为顶点的三角形与以C、O、B为顶点的三角形相似？
    （3）设△OPQ的面积为S，试写出S与t的函数关系式及自变量t的范围．
    （4）在整个运动过程中，是否存在PQ⊥BO？若存在，求出直线PQ的解析式；若不存在，说明理由．
    分析：（1）首先求得BQ的长，则CQ的长即可求得，则Q的坐标可得到，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
    （2）根据△COB是直角三角形，且BC=2OC，则当BQ=2BP或BP=2BQ时，两个三角形相似，首先利用时间t表示出BP和BQ的长，即可求得t的值；
    （3）分当t≤5时，当5＜t＜10时，当10≤t≤15时，当15＜t＜20时，当20≤t≤30时，几种情况进行讨论，利用三角形的面积公式即可求解；
    （4）当5＜t＜10时，P在AB上，Q在BC上时，PQ⊥BO能成立，此时：BP=2BQ，据此即可求得t的值；当20≤t≤30时，P在BC上，Q在OA上，PQ⊥BO能成立，此时直线PQ与直线BO的斜率互为负倒数，即可求得t的值，其它的情况不可能出现垂直的情况．
    解答：解：（1）∵OA=BC=20cm，
    ∴A的坐标是（20，0），
    当t=7cm时，BQ=2×7-10=4cm，则CQ=20-4=16cm，
    则Q的坐标是：（16，10）．
    设过O、A、Q三点的抛物线解析式是：y=ax2+bx+c，
    根据题意得：
    c=0
    400a+20b+c=0
    256a+16b+c=10
    ，
    解得：
    a=-
    5
    32
    b=
    25
    8
    c=0

    则函数的解析式是：y=-
    5
    32
    x2+
    25
    8
    x；
    （2）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，BP=10-t，BQ=2t-10，
    当BP=2BQ时，10-t=2（2t-10），解得：t=6；
    当BQ=2BP时，2t-10=2（10-t）时，解得：t=7.5，
    故当t=6t或7.5t时，两个三角形相似；
    （3）当t≤5时，P，Q都在AB上，AP=t，AQ=2t，则PQ=2t-t=t，则S=
    1
    2
    ×t×20=10t；
    当5＜t＜10时，P在AB上，Q在BC上，BP=10-t，BQ=2t-10，S=S△OBQ+S△OBP-S△BPQ=
    1
    2
    ×20（10-t）+
    1
    2
    ×10（2t-10）-
    1
    2
    （10-t）（2t-10）=t2-15t+100；
    当10≤t≤15时，P，Q都在BC上，BP=t-10，BQ=2t-10，则PQ=（2t-10）-（t-10）=t，则S=
    1
    2
    ×10t=5t；
    当15＜t＜20时，P在BC上，Q在OC上，CP=30-t，OQ=40-2t，则S=
    1
    2
    （40-2t）（30-t）=t2-50t+600；
    当20≤t≤30时，P在BC上，Q在OA上，CP=30-t，OQ=2t-40，则S=
    1
    2
    ×10（2t-40）=10（t-20）=10t-200．
    （4）当5＜t＜10时，P在AB上，Q在BC上时，PQ⊥BO时，有BP=2BQ时，10-t=2（2t-10），解得：t=6；
    当20≤t≤30时，P在BC上，Q在OA上，CP=30-t，OQ=2t-40，PQ⊥BO时，有
    10-0
    (30-t)-(2t-40)
    =-2，解得：t=25，
    故当t=6cm或25cm时，PQ⊥BO．
    点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及三角形的相似，三角形的面积，正确进行分类是关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）．
    （1）直接写出B点坐标；
    （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，求直线CD的解析式；
    （3）在（2）的条件下，试问在坐标轴上是否存在点E，使以C、D、E为顶点的三角形与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

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    17、如图，矩形OABC中，O是原点，OA=8，AB=6，则对角线AC和BO的交点H的坐标为
    （4，3）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
    ①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
    ②当S最大时，在抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宛城区一模）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c经过A，C两点，与AB边交于点D．

    （Ⅰ）求抛物线的解析式；
    （Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
    （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值；
    （2）当S最大时，从以下①，②中任选一题作答，若两题都做只以第①题计分．
    ①在抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．
    ②在坐标平面内，是否存在点F，使以C，P，Q，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形OABC中，OA=2，OC=1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是（　　）

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