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    如图，在直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y=x+1，A、B两点分别在y轴和x轴上，C点是线段AB上的一动点．
    （1）过A、C、O三点的⊙O′交x轴于另一点D．求证：AD=
    		2
    CO；
    （2）若弧AC，弧CO，弧OD的弧长之比为2：3：1，求扇形O′CmO的面积；
    （3）当⊙O′与x轴相切时，过O、C的两点的⊙O″交线段BC于点H（异于B、C两点），又另交OB、OA于M、N两点．求
    AN+OM
    O′O″
    的值．
    考点：圆的综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定A（0，1），B（-1，0），则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠BAO=45°，再根据圆周角定理得∠CO′O=2∠CAO=90°，于是得到△O′OC为等腰直角三角形，所以O′O=
    		2
    2
    OC，
    由于∠AOD=90°，根据圆周角定理得AD为⊙O′的直径，则AD=2O′O=
    		2
    OC；
    （2）作OQ⊥AB于Q，由AD为⊙O′的直径得到
    AMD
    为半圆，利用圆心角、弧和弦的关系得∠AO′C、∠CO′O、∠OO′D的度数之比为2：3：1，则∠AO′C=60°，∠CO′O=90°，∠OO′D=30°，在根据圆周角定理得∠OAD=
    1
    2
    ∠OO′D=15°，所以∠BAD=60°，设BQ=t，则DQ=t，在Rt△ADQ中AQ=
    		3
    3
    x，AD=
    2
    		3
    3
    x，利用BQ+AQ=AB=
    		2
    得x+
    		3
    3
    x=
    		2
    ，解得x=
    3
    		2
    -
    		6
    2
    ，计算出AD=
    		6
    -
    		2
    ，则半径O′O=
    		6
    -
    		2
    2
    ，然后根据扇形的面积公式求解；
    （3）连OH、HM，由切线的性质得O′O⊥x轴，则OA为⊙O′的直径，根据圆周角定理得∠ACO=90°，再利用等腰直角三角形的性质得OC=AC=
    1
    2
    AB=
    		2
    2
    ，且OH为⊙O″的直径，则点O″为OH的中点，于是可判定O′O″为△OAH的中位线，根据中位线的性质得AH=2O′O″；然后由OH为⊙O″的直径得∠HMO=90°，可判断△BHM为等腰直角三角形，再进行计算得BM=
    		2
    2
    BH=
    		2
    2
    （AB-AH）=
    		2
    2
    （
    		2
    -2O′O″）=1-
    		2
    O′O″，则OM=OB-BM=
    		2
    O′O″，
    根据切割线定理得AN•AO=AC•AH，可得AN=
    		2
    2
    AH=
    		2
    2
    •2O′O″=
    		2
    O′O″，于是可计算出
    AN+OM
    O′O″
    =2
    		2
    ．
    解答：（1）证明：把x=0代入y=x+1得y=0；把y=0代入y=x+1得x+1=0，解得x=-1，
    ∴A点坐标为（0，1），B点坐标为（-1，0），
    ∴△OAB为等腰直角三角形，
    ∴∠BAO=45°，
    ∴∠CO′O=2∠CAO=90°，
    而O′C=O′O，
    ∴OC=
    		2
    O′O，即O′O=
    		2
    2
    OC，
    ∵∠AOD=90°，
    ∴AD为⊙O′的直径，
    ∴AD=2O′O=2×
    		2
    2
    OC=
    		2
    OC；

    （2）解：作DQ⊥AB于Q，如图1，
    ∵AD为⊙O′的直径，
    ∴
    AMD
    为半圆，
    ∵弧AC，弧CO，弧OD的弧长之比为2：3：1，
    ∴∠AO′C、∠CO′O、∠OO′D的度数之比为2：3：1，
    ∴∠AO′C=60°，∠CO′O=90°，∠OO′D=30°，
    ∴∠OAD=
    1
    2
    ∠OO′D=15°，
    ∴∠BAD=45°+15°=60°，
    设BQ=t，则DQ=t，
    在Rt△ADQ中，∠ADQ=30°，
    ∴AQ=
    		3
    3
    x，AD=
    2
    		3
    3
    x，
    而BQ+AQ=AB=
    		2
    ，
    ∴x+
    		3
    3
    x=
    		2
    ，解得x=
    3
    		2
    -
    		6
    2
    ，
    ∴AD=
    2
    		3
    3
    •
    3
    		2
    -
    		6
    2
    =
    		6
    -
    		2
    ，
    ∴O′O=
    		6
    -
    		2
    2
    ，
    ∴扇形O′CmO的面积=
    90•π•(
    		6
    -
    		2
    2
    )2
    360
    =
    2-
    		3
    4
    π；

    （3）解：连OH、HM，如图2，
    ∵△OAB为等腰直角三角形，OA=OB=1，
    ∴∠ABO=45°，AB=
    		2
    ，
    ∵⊙O′与x轴相切，
    ∴O′O⊥x轴，即O′点在y轴上，
    ∴OA为⊙O′的直径，
    ∴∠ACO=90°，
    ∴OC=AC=
    1
    2
    AB=
    		2
    2
    ，
    ∴OH为⊙O″的直径，
    ∴点O″为OH的中点，
    ∴O′O″为△OAH的中位线，
    ∴O′O″=
    1
    2
    AH，即AH=2O′O″，
    ∵OH为⊙O″的直径，
    ∴∠HMO=90°，
    ∴△BHM为等腰直角三角形，
    ∴BM=
    		2
    2
    BH=
    		2
    2
    （AB-AH）=
    		2
    2
    （
    		2
    -2O′O″）=1-
    		2
    O′O″，
    ∴OM=OB-BM=1-（1-
    		2
    O′O″）=
    		2
    O′O″，
    ∵AN•AO=AC•AH，
    ∴AN•1=
    		2
    2
    •AH，
    ∴AN=
    		2
    2
    AH=
    		2
    2
    •2O′O″=
    		2
    O′O″，
    ∴
    AN+OM
    O′O″
    =
    		2
    O′O″+
    		2
    O′O″
    O′O″
    =2
    		2
    ．
    点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质、切割线定理和等腰直角三角形的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系进行计算．
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    （1）BC=2cm；（2）梯形的面积是3
    		3
    cm2；（3）∠ADC=30°；（4）点P从开始移动到停止移动一共用了7秒．
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    1
    3
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    （1）用含有t的代数式表示AE=
     
    ．
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    （3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．
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    如图，△ABC中∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=
    		3
    ，PB=5，PC=2，则∠APC的度数为
     
    ，△ABC的面积为
     
    ．

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    ．

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