Question

8．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB=180°，两组对边延长后，分别交于P、Q两点，∠APD、∠AQB的平分线交于M，求证：PM⊥QM．

Answer 1

分析 连接PQ，由三角形内角和定理可得出∠QCP=180°-∠1-∠2，∠A=180°-∠AQP-∠APQ=180°-∠1-∠2-∠AQB-∠APD，再根据∠APD、∠AQB的平分线交于点M可知∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，再由三角形外角的性质可得出∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A），进而得出结论．

解答 证明：连接PQ，
∵∠QCP=180°-∠1-∠2，
∠A=180°-∠AQP-∠APQ=180°-∠1-∠2-∠AQB-∠APD，
又∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，
∴∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，
∴∠QCP+∠A=（180°-∠1-∠2）+（180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4）
=360°-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，
∴$\frac{1}{2}$（∠QCP+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠BCD=∠QCP，
∴$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠QMP=180°-∠MQP-∠MPQ=180°-∠1-∠3-∠2-∠4，
∴∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即PM⊥QM．

点评 本题考查的是多边形内角与外角，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．