Question

已知：如图，边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上运动，但与A、C两点不重合，连接AD并延长交BC的延长结于P．
（1）则⊙O的半径为（     ）；
（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式y=（     ），自变量x的取值范围为（     ）；
（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）2 ；
（2），0＜x＜2；
（3）假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得△DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60 °，∠CDP=∠ABC=60 °
∴∠BDC=∠CDP
∴CD⊥BP
∴DB是圆的直径，BD=4，DP=4
∵DP=AP﹣AD=y﹣x=﹣x=4
即x²+4x﹣12=0
∴△=42﹣4 ×（﹣12）=64＞0
∴关于x的方程x²+4x﹣12=0有两个不相等的实根，说明假设成立
∴x₁=2，x₂=﹣6（线段不能为负，舍去）
∴D点在运动的过程中存在这样的位置：即当AD=2时，△BDP成为以BD，PD为腰的等腰三角形．