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如图,四边形ABCO是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过A、B、C三点,与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动,运动到A停止,同时一动点Q从点D出发,以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动,与点P同时停止.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形?
(3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?
(1)∵四边形ABCO是平行四边形,
∴OC=AB=4
∴A(4,2),B(0,2),C(-4,0);(1分)
∵抛物线y=ax2+bx+c过点B,
∴c=2(2分)
由题意,有
16a-4b+2=0
16a+4b+2=2

解得
a=-
1
16
b=
1
4
(3分)
∴所求抛物线的解析式为y=-
1
16
x2
+
1
4
x+2;(4分)

(2)将抛物线的解析式配方,得y=-
1
16
(x-2)2+2
1
4

∴抛物线的对称轴为x=2;(5分)
∴D(8,0),E(2,2),F(2,0)
欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE,即BP=FQ;
∴t=6-3t,
即t=1.5;(7分)


(3)欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,
∵∠PBO=∠BOQ=90°,
∴有
BP
OB
=
OQ
BO
BP
OB
=
BO
OQ

即PB=OQ或OB2=PB•QO;
①若P、Q在y轴的同侧;
当PB=OQ时,t=8-3t,
∴t=2.(8分)
当OB2=PB•QO时,t(8-3t)=4,
即3t2-8t+4=0,
解得t=2,t=
2
3

②当P、Q在y轴的两侧;
当PB=OQ时,Q、C重合,P、A重合,此时t=4;
当OB2=PB•QO时,t(3t-8)=4,
即3t2-8t-4=0,
解得t=
4±2
7
3

∵t=
4-2
7
3
<0,故舍去;
∴t=
4+2
7
3
;(11分)
∴当t=2或t=
2
3
,4或t=
4+2
7
3
秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似.(12分)
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如图,已知抛物线y=
1
2
x2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,BCx轴.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方),DE=
2
,过D、E两点分别作y轴的平行线,交抛物线于F、G,若设D点的横坐标为x,四边形DEGF的面积为y,求x与y之间的关系式,写出自变量x的取值范围,并回答x为何值时,y有最大值.

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(2)如图②,判断直线AE与正方形AOBC的外接圆的位置关系,并说明理由;
(3)若在抛物线上有点P,在抛物线的对称轴上有点Q,使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点P的坐标.

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已知:抛物线y=
1
4
x2+1
的顶点为M,直线l过点F(0,2)且与抛物线分别相交于A、B两点.过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF、DF.
(1)如图:
①若A(-1,
5
4
),求证:AC=AF;
②若A(m,n),判断以CD为直径的圆与直线l的位置关系.并加以证明.
(2)若直线l绕点F旋转,且与x轴交于点P,PC×PD=8.求直线l的解析式.

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已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.

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已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上(如图示)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)P为线段AB上一动点(A、B两端点除外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q,设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x,求出l与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标,并求出梯形的面积;若不存在,请说明理由.

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(1)探究新知:
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(2)结论应用:
如图3,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D,试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等?若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

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