Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD ，BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交于点，设EC=x．

（1）求证：；

（2）当时，用含的代数式表达的长；

（3）在（2）题条件下，若以为半径的与以为半径的相切，求的值.

Answer 1

解：（1）∵BC∥AD，∴，，

∵∥，，

∴，∴.

（2）∵，AB=8，BC=6，∴，

∵BC⊥AB，，∴，

∵EC=x，∴，∴，

∵AF=2EC，由（1）知，∴，∴，

∵∥，∴，

∴，∴.

（3）∵，设，∴，，

 ，

当与相外切时，；

，解，得，

∵，即，

由，得，与已知不符，∴（舍）；

当与相内切时，，

①，无解；

②，

解，得，，∵，，∴.

综上所述，满足条件的的值为.