Question

已知关于x的方程x²-（q+p+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示p、q；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若以α、β为坐标的点M（α、β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（

1

2

，1），C（1，1），问是否存在点M，使p+q=

5

4

？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为原方程有两个相等的实数根，故判别式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因为α≤β，故只需求（1-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标．

解答：解：（1）∵α、β为方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根，
∴判别式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=

5

4

成立，只需α+β=p+q+1=

9

4

，
①当点M（α，β）在BC边上运动时，
由B（

1

2

，1），C（1，1），
得

1

2

≤α≤1，β=1，
而α=

9

4

-β=

9

4

-1=

5

4

＞1，
故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（

5

4

，1）所以不符合题意舍去；
即在BC边上不存在满足条件的点
②当点M（α，β）在AC边上运动时，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此时β=

9

4

-α=

9

4

-1=

5

4

，
又因为1＜

5

4

＜2，
故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，

5

4

）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，
由A（1，2），B（

1

2

，1），
得

1

2

≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得

1-α

1- 1 2

=

2-β

2-1

，
于是β=2α，
由

β=2α α+β= 9 4

解得α=

3

4

，β=

3

2

，
又因为

1

2

＜

3

4

＜1，1＜

3

2

＜2，
故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（

3

4

，

3

2

）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，

5

4

）和点（

3

4

，

3

2

），使p+q=

5

4

成立．

点评：此题较复杂，将根与系数的关系、根的判别式与动点问题相结合，体现了运动变化的观点．由于情况较多，需要分类讨论．